Transformada Rápida de Fourier (FFT) de secuencias reales unidimensionales
A través del análisis anterior, nos damos cuenta de que la transformada de Fourier en sí es una operación de números complejos. La mayoría de los datos obtenidos en geofísica son números reales. En principio, el algoritmo FFT de secuencias complejas se puede aplicar directamente. la transformación de números reales, sin embargo, es tratar la secuencia de números reales como un número complejo con una parte imaginaria de cero. Obviamente, es necesario almacenar el cero de la parte imaginaria y realizar cálculos reactivos, que no solo se desperdician dos veces. la memoria de cálculo, pero también reduce la velocidad de cálculo a aproximadamente la mitad.
Para no desperdiciar la necesaria memoria de la parte imaginaria y las inevitables operaciones con números complejos, ¿se puede dividir una secuencia real en dos secuencias subreales, respectivamente, como la parte real y la parte imaginaria para formar un complejo? secuencia, y luego usar ¿El algoritmo FFT de una secuencia compleja encuentra su espectro y separa y procesa el espectro de secuencia compleja sintetizado para obtener el espectro de la secuencia real original? La respuesta es sí. La idea de implementar este proceso es la idea básica del algoritmo FFT de secuencia real.
1. Propiedades de la transformada de Fourier de secuencias reales
Para una secuencia real x(k) de N muestras, su espectro es X(j), utilice Xr(j) y Xi( j) representa las partes real e imaginaria de X(j), y representa el ***yugo de Conceptos básicos del procesamiento de datos
Tome *** yugo en ambos extremos de la ecuación anterior y observe que x (k) es una secuencia real, entonces
Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos
Esto es que la transformada de Fourier de la secuencia real tiene una propiedad de yugo compleja.
También es periódico, es decir,
Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos
2. Algoritmo FFT de secuencia real unidimensional
(1) Algoritmo FFT para calcular dos secuencias reales simultáneamente
Se sabe que dos secuencias reales h(k), g(k) (k=0, 1,..., N-1), como la gravedad y el magnetismo. Dos perfiles en datos planos anormales, o dos registros sísmicos en exploración sísmica, pueden formar artificialmente una secuencia compleja:
Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos
Supongamos h (k El espectro de ) es H(j)=Hr(j)+iHi(j)
El espectro de g(k) es G(j)=Gr(j)+iGi(j)
El espectro de y(k) es Y(j)=Yr(j)+i Yi(j)
Utilice el algoritmo FFT de secuencia compleja de la sección anterior para obtener Y(j ), es decir, se conocen Yr(j) y Yi(j), para encontrar la relación entre Hr(j), Hi(j), Gr(j), Gi(j) e Yr(j), Yi(j). ).
Realice la transformada de Fourier en la ecuación (8-22):
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Dado que H(j), G(j) en sí es un secuencia compleja, por lo que H (j) y G (j) no se pueden separar solo de la fórmula anterior. Aplicando la periodicidad de Y(j), es fácil obtener
Y(N-j)=H(-j)+iG(-j)
La fórmula anterior toma el * ** yugo:
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Dado que h (k) y g (k) son secuencias reales, aplica el complejo teorema del yugo * al extremo derecho de lo anterior ecuación, obtenemos
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Amplíe la ecuación (8-23) para obtener
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Amplíe la ecuación (8-24)) y aplique la relación de yugo, obtenemos
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Coloque la ecuación (8-25) y la ecuación (8 -26) con Y(j) =Yr(j)+iYi(j) para comparar, hay
Conceptos básicos de procesamiento de datos geofísicos
organizados
Geofísicos conceptos básicos de procesamiento de datos
Por lo tanto, para dos secuencias reales, al construir una secuencia compleja y aplicar el algoritmo FFT de la secuencia compleja y el procesamiento de separación de la ecuación (8-28), los espectros de las dos secuencias reales se puede obtener.
(2) Calcular el algoritmo FFT de secuencia real de 2 N puntos de datos
Supongamos que hay una secuencia real u(k) de 2N puntos (k=0, 1,.. ., 2N- 1), primero divídalo en dos secuencias subreales según k par e impar, y forme una secuencia compleja, es decir,
Base de procesamiento de datos geofísicos
Al llamar al algoritmo FFT de secuencia compleja, podemos obtener El espectro de y (k) es Y (j). Observe también los espectros de h(k) y g(k) como H(j) y G(j).
Usando la ecuación anterior (8-23) y la ecuación (8-24), es fácil obtener
Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos
Lo siguiente El análisis utiliza H (j), G (j) forma el problema del espectro u (k). Denota el espectro de u(k) (k=0, 1,...,2 N-1) como V(j), analiza la relación entre V(j), H(j), G(j), según a la definición
Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos
Usando la ecuación (8-31) y la ecuación (8-34), los primeros N espectros V(j)(j) de u (k) se puede convertir =0,1,...,N-1), y también intentar encontrar los últimos N espectros V(N+j) de u(k) (j=0,1,... ,N-1). Utilice el complejo *yugo y la periodicidad del espectro de la secuencia real:
(1)H(N)=H(0), G(N)=G(0), WN1=-1, Obtener
Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos
(2) Dado que u(k) (k=0, 1,...,2N-1) es una secuencia real, también use la secuencia real para El complejo *yugo y periodicidad del espectro, use los primeros N espectros V(j) calculados para expresar los siguientes N-1 espectros V(N+j):
Conceptos básicos de geofísica procesamiento de datos
Desde 0<2N-j Para resumir la descripción anterior, los pasos de cálculo y programación de FFT para la secuencia real unidimensional u(k) (k=0, 1, ..., 2N-1) son los siguientes: (1) Presione Par e impar dividen la secuencia real u(k) y construye la secuencia compleja: Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos (2) Llame a la FFT de la secuencia compleja para calcular y(k) Espectro Y (j) (j=0, 1,..., N-1); (3) Utilice la siguiente fórmula para calcular el espectro H (j) y g (k) formando h (k) y g (k) G(j); Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos (4) Utilice el siguiente fórmula para convertir el espectro V(j) de la secuencia real u(k) (j=0, 1,…, 2 N-1): Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos [Ejemplo 3] Encuentre la muestra de secuencia real u(k)={1, 2, 1, 1, 3, 2, 1, 2} (k = 0, 1, ..., 7) espectro. Solución: Dividir la secuencia real u(k) según par e impar, y construir la secuencia compleja c(j) (j=0, 1, 2, 3) según la fórmula (8-37) ), es decir, c(0) = 1+2i; (1) Llame a la secuencia compleja FFT para encontrar el espectro Z(k) (k=0, 1, 2, 3) de c(j) (j=0, 1, 2, 3) , y obtenemos Z (0) = 6 + 7i; Z (1) = -3; Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos (3) Utilice la fórmula (8-38) para calcular H(j), G(j): Datos geofísicos Conceptos básicos de procesamiento (4) Encuentre los ocho espectros V(j) (j=0, 1) de u(k) (k=0, 1,...,7) según la ecuación (8 -39) ,...,7): Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos Conceptos básicos del procesamiento de datos geofísicos Como se puede ver en el ejemplo anterior , se han completado los 2 N espectros de secuencia real. El cálculo solo requiere N cálculos FFT, lo que ahorra aproximadamente la mitad de los cálculos en comparación con el algoritmo FFT que utiliza directamente secuencias complejas.